Spieltheorie Interaktiv - Komplettes Lernsystem

🎯 Was ist Spieltheorie?

Die Spieltheorie analysiert strategische Entscheidungssituationen, in denen der Erfolg eines Akteurs von den Entscheidungen anderer abhängt.

Kernkonzepte:

Spieler: Entscheidungsträger (rational handelnd)
Strategien: Mögliche Aktionen
Auszahlungen: Nutzen/Gewinn für jeden Spieler
Gleichgewicht: Stabiler Zustand

Normalform-Spiel:

G = (N, S, u)
N = {1,...,n} Spielermenge
S = S₁ × ... × Sₙ Strategieraum
u = (u₁,...,uₙ) Nutzenfunktionen

Spieltypen:

Nullsummenspiele

Gewinn A = -Gewinn B

Beispiel: Schach

Kooperative Spiele

Bindende Vereinbarungen

Beispiel: Kartelle

Simultanspiele

Gleichzeitige Züge

Beispiel: Schere-Stein-Papier

Sequenzielle Spiele

Abwechselnde Züge

Beispiel: Schach

🔒 Das Gefangenendilemma

Zwei Gefangene werden getrennt verhört und müssen sich entscheiden: Gestehen oder Schweigen?

	B: Schweigen	B: Gestehen
A: Schweigen	(-1, -1)	(-3, 0)
A: Gestehen	(0, -3)	(-2, -2)

Paradox: Beide Spieler wählen "Gestehen" (dominante Strategie), obwohl "Schweigen/Schweigen" für beide besser wäre!

Simulation: Iteriertes Gefangenendilemma

Anzahl Runden: 10

Strategien im iterierten Spiel:

Tit-for-Tat: Kooperiere zuerst, dann kopiere Gegner
Grim Trigger: Kooperiere bis Gegner defektiert, dann immer defektieren
Pavlov: Wechsle Strategie nach schlechtem Ergebnis
Random: Zufällige Wahl

⚖️ Nash-Gleichgewicht

Ein Zustand, in dem kein Spieler einen Anreiz hat, einseitig seine Strategie zu ändern.

Formale Definition:

s* = (s₁*, s₂*, ..., sₙ*) ist Nash-GG wenn:
∀i: uᵢ(sᵢ*, s₋ᵢ*) ≥ uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ*) für alle sᵢ ∈ Sᵢ

Beispiel: Battle of the Sexes

	Frau: Oper	Frau: Fußball
Mann: Oper	(2, 1)	(0, 0)
Mann: Fußball	(0, 0)	(1, 2)

3 Nash-Gleichgewichte:

Rein: (Oper, Oper) - Beide gehen zur Oper
Rein: (Fußball, Fußball) - Beide gehen zum Fußball
Gemischt: Mann 2/3 Oper, Frau 1/3 Oper

Nash-GG Finder

🎯 Minimax-Strategie

Für Nullsummenspiele: Maximiere deinen minimalen Gewinn!

Von Neumann's Theorem:

max min = min max (Sattelpunkt-Theorem)
v = max_x min_y u(x,y) = min_y max_x u(x,y)

Beispiel: Matching Pennies

	B: Kopf	B: Zahl
A: Kopf	(1, -1)	(-1, 1)
A: Zahl	(-1, 1)	(1, -1)

Minimax Baum-Visualisierung

MAX

MIN

1 -1

MIN

-1 1

🔄 Wiederholte Spiele

Wenn Spiele mehrfach gespielt werden, entstehen neue strategische Möglichkeiten.

Folk Theorem:

Bei unendlich wiederholten Spielen mit Diskontfaktor δ nahe 1
sind viele Auszahlungen als Gleichgewicht möglich.

Trigger-Strategien:

Diskontfaktor δ: 0.9

Kooperation stabil wenn: δ ≥ 0.5

🔨 Auktionstheorie

Auktionstypen:

Englische Auktion

Aufsteigend, offen

Holländische Auktion

Absteigend, offen

Erstpreisauktion

Verdeckt, zahle Gebot

Zweitpreisauktion

Verdeckt, zahle 2. Gebot

Revenue Equivalence Theorem:

Unter Standard-Annahmen erzeugen alle vier Auktionsformen
den gleichen erwarteten Erlös für den Verkäufer.

Auktions-Simulator

Anzahl Bieter: 5 Wahre Wertschätzung: 100€

🧬 Evolutionäre Spieltheorie

Wie entwickeln sich Strategien in Populationen über Zeit?

Replikator-Dynamik:

ẋᵢ = xᵢ[f(eᵢ,x) - f(x,x)]
Anteil der Strategie i wächst, wenn überdurchschnittlich erfolgreich

Hawk-Dove Game:

	Dove	Hawk
Dove	(3, 3)	(1, 5)
Hawk	(5, 1)	(0, 0)

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